الأهداف : عزيزي الدارس يتوقع منك بعد دراسة هذا الموضوع أن تتعرف المنشور القائم وأن تجد حجمه ومساحة سطحه .
تمهيد :سؤال : ماذا نسمي كل من هذه الأشكال ؟؟
إن جميع الأشكال السابقة تتكون من قاعدتين دائريتين متقابلتين متطابقتين ومستطيل يصل بين الدائرتين وتكون الشبكة على الشكل التالي :
ويسمى هذا الشكل بالأسطوانة الدائرية القائمة .
والآن قد عرفت ما هي الأسطوانة الدائرية القائمة سوف نبحث ( في إيجاد مساحة سطحها الخارجي ومن ثم إيجاد حجمها ) .
أولاً : مساحة سطح الأسطوانة :
لكي نتمكن من حساب مساحة سطح الأسطوانة الخارجي ، نأخذ أسطوانة من الورق الرقيق على شكل أسطوانة دائرية قائمة كما في الشكل المجاور .
قص السطح الجانبي للأسطوانة على طول الخط أ ب ، ماذا تلاحظ ؟ سوف يكون عندك الشكل التالي :
الشكل الناتج بعد القص هو عبارة عن مستطيل و دائرتين متقابلتين متطابقتين حيث يمثل المستطيل المساحة الجانبية للأسطوانة وتمثل الدائرتان مساحة القاعدتين .والمستطيل الناتج يكون أحد أبعاده ارتفاع الأسطوانة والبعد الآخر هو محيط قاعدة الأسطوانة .
ولإيجاد مساحة المستطيل = الطول × العرض
= 2 نق × ع وحدة مربعة .
نستنتج مما سبق أن المساحة الجانبية للأسطوانة هي 2 نق ع وحدة مربعة .
حيث : نق هو نصف قطر قاعدة الأسطوانة .
ع : ارتفاع الأسطوانة .
أو 3.14 .
=
وبعد أن عرفنا المساحة الجانبية بقي علينا أن نعرف مساحة السطح الخارجي للأسطوانة .
إن مساحة السطح الخارجي للأسطوانة هو عبارة عن المساحة الجانبية للأسطوانة بالإضافة إلى مساحة القاعدتين الدائريتين وتعلم أن مساحة الدائرة هي ( نق2 ) .
مساحة السطح الخارجي = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين
= 2 نق ع + 2 ( مساحة الدائرة )
= 2 نق ع + 2 نق2
أمثلة 1. جد المساحة الخارجية لأسطوانة دائرية قائمة ، نصف قطرها 7 سم ، وارتفاعها 21 سم .
الحل : المساحة الخارجية = المساجة الجانبية + مساحة القاعدتين
= 2 نق ع + 2 ( نق2 )
= 2 نق ع + 2 ( نق2 )
)
× 7 × 21 + 2 ( 7 × 7 ×
= 2 ×
= 2 × 22 × 21 + 2 × 7 × 22
= 2 × 22 ( 7 + 21 ) = 44 × 28 = 1232 سم2 .
2. أسطوانة دائرية قطرها 10 سم وارتفاعها 10 سم . احسب مساحة سطحها الخارجي .
الحل : المساحة الخارجية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين
= 2 نق ع + 2 نق2
= 2 × 3.14 × 5 × 10 + 2 × 3.14 × 5 × 5
= 3.14 × 100 + 50 × 3.14
= 314 + 31.4 × 5
= 314 + 157.0 = 471 سم2 .
3. خزان وقود أسطواني مغلق ، طول نصف قطر قاعدته 2.5 م وارتفاعه 10 م طلي بدهان من الخارج . جد تكلفة طلاء الخزان إذا كانت تكلفة المتر المربع الواحد ( 10 دنانير ) .
الحل : لإيجاد كلفة الدهان الخارجي للخزان يجب إيجاد مساحة السطح الخارجي للخزان .
مساحة السطح الخارجي للخزان = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين
= 2 نق ع + 2 نق2
= 2 × 3.14 × 2.5 ×10+2×2.5×2.5×3.14
= 5 × 31.4 + 2 × 3.14×6.25
= 157 + 39.25 = 196.25 م2 .
= 1962.5 دينار .
كلفة الدهان = 196.25م2 ×
ثانياً : حجم الأسطوانة الدائرية القائمة
كثيراً ما نشاهد علب العصير ، أو المربى .... قد كتب عليها سعتها ( حجم السائل الذي بداخلها ). فكيف يمكن حساب حجم الأسطوانة ؟
إن حجم الأسطوانة يعمتد على مساحة قاعدة الأسطوانة وارتفاعها حيث أن حجم الأسطوانة هو مساحة القاعدة ( الدائرة ) مضروباً في ارتفاع الأسطوانة .
وبالرموز حجم الأسطوانة = مساحة قاعدتها × الارتفاع للأسطوانة
= نق2 × ع = نق2 ع
أمثلة :
1. جد حجم الأسطوانة التي نصف قطر قاعدتها 7 سم ، وارتفاعها 4 سم .
الحل : حجم الأسطوانة = نق2 ع
× 4 = 88 × 7 = 616 سم3 .
= 7 × 7 ×
2. قطعة من الورق على شكل مستطيل أبعاده 16 سم ، 33 سم ، لفت الورقة على شكل أسطوانة دائرية قائمة محيط قاعدتها ( 33 ) سم ، جد حجم الأسطوانة الناتجة .
الحل : حجم الأسطوانة = نق2 ع .
لاحظ هنا أن الارتفاع معلوم وهو (16) سم أما نصف القطر غير معلوم ، ولكن يمكن إيجاده من محيط القاعدة حيث :
محيط القاعدة = 2 نق
× نق
33 = 2 ×
نق =
والآن نعود إلى حساب حجم الأسطوانة =
= 3 × 21 × 22 = 63 × 22 = 1386 سم3 .
طريقة عملية لإيجاد حجم أسطوانة :
ـ خذ كاساً أسطوانية الشكل تماماً مثل الكؤوس الموجودة في منزلك .
ـ قس ارتفاع هذه الكأس بسمطرتك بأقصى ما يمكنك من الدقة .
ـ قس طول قطر الأسطوانة بمسطرتك أيضاً وبشكل دقيق .
ـ خذ مخباراً مدرجاً ( رضاعة أطفال مدرجة ) واستخدمه في ملء الكأس بالماء حتى تمتلأ تماماً ، كم كان حجم الماء ( وهو حجم الكأس ) اللازم ؟
ـ احسب حجم الكأس رقمياً كما يلي = مساحة القاعدة × الارتفاع
= نق2 × ع
ـ قارن رقم حجم الكأس الذي وجدته عملياً باستخدام المخبار المدرج مع رقم الحجم الذي وجدته حسابياً ، هل الفرق بين الرقمين كبير ؟
ـ أعد التجربة على نفس الكأس للتأكد من صحة عملك .
ـ جرّب الأمر على كؤوس أخرى وقارن .
ـ إذا أخذت نتائج القياسات التي أجريتها كلها ستجد أن حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع
وبما أن قاعدة الأسطوانة دائرية إذن حجمها = نق2 × ع حيث نق هو نصف قطر القاعدة .
